Vectorfeld 离合器 ⇐ 文章草稿

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“辛向量场”是属于数学|辛几何的数学子域|辛几何（又是微分几何的子域）中的一个特殊向量场#流形上的向量场|流形上的光滑向量场辛流形|辛流形，与其辛形式|辛形式兼容。

== 定义 ==
对于辛流形 (M,\omega) 是一个向量场#流形上的向量场|光滑向量场 X\in \mathfrak{X}(M) 且 < math>\ mathcal{L}_X\omega=0 是辛向量场。借助嘉当公式\mathcal{L}_X=\mathrm{d}i_X+i_X\mathrm{d}和闭微分形式|闭性\mathrm{d}\omega=0 辛形式 \omega 后跟闭包的等效条件 \mathrm{d}i_X\omega=\mathrm{d}(\omega(X,-)) =0 ，格式为 i_X\omega=\omega(X,-)。McDuff & Salamon 1998，第 83 页布林斯基 2007 年，2.3.1。提议

== 属性 ==

* 辛向量场的线性组合是辛向量场。对于标量 a,b\in \mathbb {R} 和辛向量场 X,Y\in \mathfrak{X}(M) 适用嘉当线性微分 \mathrm{d} 和辛形式 \omega 的双线性：
*: \mathrm{d}(\omega(aX+bY,-))
=\mathrm{d}(a\omega(X,-)+b\omega(Y,-))
=a\mathrm{d}(\omega(X,-))+b\mathrm{d}(\omega(Y,-))
=0。
* 辛向量场的李括号是辛向量场。对于辛向量场 X,Y\in \mathfrak{X}(M) 为：
*: \mathcal{L}_{[X,Y]}\omega
=[\mathcal{L}_X,\mathcal{L}_Y]\omega
=0。

== 辛向量场的李代数 ==
根据引理，辛流形 (M,\omega) 上的辛向量场形成向量空间，并且带有李括号 [-,-] 甚至是李代数，记作\mathfrak{Symp}(M,\omega)。这是对于 M 闭流形|闭合辛微分同胚李群的李代数 \operatorname{Symp}(M,\omega)。McDuff & Salamon 1998，命题 3.2

== 与 De Rham 上同调的联系 ==
根据定义，对于辛向量场X，1形式i_X\omega是封闭的，因此产生一个元素[i_X\ omega] \in H_\mathrm{dR}^1(M) 第一 De Rham 上同调。由于辛形式 \omega 的双线性，该赋值是线性映射：

: \mathfrak{Symp}(M,\omega)\rightarrow H_\mathrm{dR}^1(M),X\mapsto i_X\omega。

==另见==

* nlab:symplectic+vector+field|nLab 上的辛向量场 (English language|english)

==文献==

* *
== 属性 ==


类别：辛拓扑