哈密​​顿向量场 ⇐ 文章草稿

[Guest]

“哈密尔顿向量场”是数学|辛几何的数学子域|辛几何（微分几何的子域）中的一个特殊向量场#流形上的向量场|流形上的光滑向量场辛流形|辛流形，与其辛形式|辛形式兼容，并由其上的平滑映射（称为哈密顿函数）生成。

== 定义 ==
对于辛流形 (M,\omega) 是一个向量场#流形上的向量场|光滑向量场 X\in \mathfrak{X}(M)，对于存在一个光滑图形 H\in C^\infty(M) 和 i_X\omega=\omega(X,-)=\mathrm dH，哈密顿向量场.Brylinski 2007，2.3.2。定义

由于辛形式 \omega 的非简并性，对于平滑向量场 X,Y\in \mathfrak{X}(M) 遵循 \ omega(X,-) =\omega(Y,-)，即 X=Y。对于哈密顿函数 H\in C^\infty(M)，因此至多有一个关联的哈密顿向量场 X\in \mathfrak{X}(M)，如果存在，则也记为X_H。事实上，存在是给定的，可以使用显式表达式来表示：对于每个点 x\in M 都有一个线性映射 \varphi_x\colon T_xM\rightarrow T_x^*M ,\xi \mapsto\omega_x(\xi,-)。由于辛形式\omega_x的非简并性质，该单射函数是单射的，由于切空间、正切空间和余切空间的维数相同（数学），它甚至是双射函数并且由于辛形式 \omega_x 与基点 x 的平滑相关性，这些共同导致向量丛同态|向量丛同构 \varphi\冒号 TM\rightarrow T^*M,(x,\xi)\mapsto (x,\omega_x(\xi,-))。因此，哈密顿函数 H\in C^\infty(M) 的哈密顿量场 X_H\in \mathfrak{X}(M) 可以表示为：< br/>
: X_H=\varphi^{-1}\circ\mathrm dH\colon M\rightarrow TM.

== 属性 ==

* 哈密顿向量场是辛向量场|symplectic。 对于哈密顿函数 H\in C^\infty(M) 遵循嘉当公式和闭包 < math>\mathrm d\omega=0 的辛形式 \omega:
*: \mathcal{L}_{X_H}\omega
=(\mathrm{d}i_{X_H}+i_{X_H}\mathrm d)\omega
=\mathrm{d}i_{X_H}\omega=\mathrm{d}^2H=0。
* 哈密顿向量场的线性组合是哈密顿向量场。对于标量 a,b\in \mathbb {R} 和平滑函数 G,H\in C^\infty(M) 适用嘉当微分的线性 < math>\mathrm{d} 和辛形式 \omega 的双线性：
*: \omega(X_{aG+bH},-)
=\mathrm{d}(aG+bH)
=a\mathrm{d}G+b\mathrm{d}H
=a\omega(X_G,-)
+b\omega(X_H,-)
=\omega(aX_G+bX_H,-),

：由于辛形式 \omega 的非简并性，可以得出 X_{aG+bH}=aX_G+bX_H。

* 对于平滑函数 G,H\in C^\infty(M) 适用于嘉当微分的乘积规则：
*: \omega(X_{GH},-)
=\mathrm d(GH)
=H\mathrm dG
+G\mathrm dH
+G\omega(X_H,-)
=H\omega(X_G,-)
=\omega(HX_G+GX_H,-),

：由于辛形式 \omega 的非简并性，可以得出 X_{GH}=HX_G+GX_H。

* 对于辛同态 \phi\in\operatorname{Symp}(M) 和平滑函数 H\in C^\infty(M)，以下适用：McDuff & Salamon 1998，命题 3.6 (iii)
*: X_{H\circ\phi}
=\phi^*X_H。
* 哈密顿向量场的李括号是哈密顿向量场。 对于平滑函数 G,H\in C^\infty (M)，以下适用：McDuff & Salamon 1998，命题 3.6 (iii)
*: [X_G,X_H]
=X_{\{G,H\.

== 哈密顿向量场的李代数 ==
根据引理，辛流形 (M,\omega) 上的哈密顿向量场形成一个向量空间，并且带有李括号 [-,-] 甚至是李代数，记作\mathfrak{Ham}(M,\omega)。存在李代数同态：McDuff & Salamon 1998，第 87 页

: \mathfrak{Ham}(M,\omega)\hookrightarrow\mathfrak{Symp}(M,\omega),X\mapsto X
: C^\infty(M)\twoheadrightarrow\mathfrak{Ham}(M,\omega),H\mapsto X_H

== 与 De Rham 上同调的联系 ==

=== 与第零次 de Rham 上同调的联系 ===
Hamilton 函数的向量空间 C^\infty(M) 的一个特殊子向量空间是第零个 de Rham 上同调|De Rham 上同调 H_\mathrm{dR}^0(M) :=\ker(\mathrm{d}\colon C^\infty(M)\rightarrow\Omega^1(M)) 局部常数函数|局部常数（在任何连通空间#连通分量|上）连接分量常数）哈密顿函数。由于哈密顿函数的哈密顿向量场的定义中仅出现其嘉当微分，因此可以根据需要将局部常数哈密顿函数添加到其中，而不会对生成的哈密顿向量场产生影响。因此有一个精确的顺序：Brylinski 2007, 2.3.8 Remark

: H_\mathrm{dR}^0(M)\hookrightarrow C^\infty(M,\omega)\rightarrow \mathfrak{Ham}(M,\omega)。

由此直接得出结论，当且仅当辛流形的第零个 De Rham 上同调是平凡的时，每个哈密顿向量场都由唯一的哈密顿函数生成。

=== 与第一德拉姆上同调的联系 ===
根据定义，对于辛向量场X，1形式i_X\omega是封闭的，因此产生一个元素[i_X\ omega] \in H_\mathrm{dR}^1(M) 第一 De Rham 上同调|De Rham 上同调。由于辛形式 \omega 的双线性，该赋值是线性映射：

: \mathfrak{Symp}(M,\omega)\rightarrow H_\mathrm{dR}^1(M),X\mapsto i_X\omega。

[i_X\omega]\in H_\mathrm{dR}^1(M) 是中性元素当且仅当它是精确的 1 - 形式不同，即当X是哈密顿向量场时。因此存在一个精确的顺序：Brylinski 2007, 2.3.3 Proposition

: \mathfrak{Ham}(M,\omega)\hookrightarrow\mathfrak{Symp}(M,\omega)\rightarrow H_\mathrm{dR}^1(M)。

由此可以直接得出，当且仅当辛流形的第一个 De Rham 上同调是平凡的时，每个辛向量场都是哈密顿向量场。

==在物理学中的应用==
哈密​​顿向量场对于哈密顿力学的表述至关重要，因为它们的向量场流沿着基础哈密顿函数的常数值运行。这描述了相空间中机械运动的能量守恒定律。对于点 x\in M，哈密顿函数 H\in C^\infty(M) 是其（局部）流 \phi_H(x, - )\colon I\rightarrow M 具有开区间 I\subseteq\mathbb R 且 0\in I 具有初值条件的微分方程的解:

: \左\{\开始{对齐}
\phi_H(x,0)&=x \\
\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\phi_H(x,t)&=X_H(\phi_H(x,t))
\end{对齐}\右。。

哈密​​顿向量场的定义和辛形式的反对称性如下：

: \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}H(\phi_H(x,t))
=\mathrm dH(\phi_H(x,t))\left(\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\phi_H(x,t)\right)
=\omega(X_H(\phi_H(x,t)),-)\left(X_H(\phi_H(x,t))\right)
=\omega(X_H,X_H)(\phi_H(x,t))
=0，

其中 H(\phi_H(x,t))
是常数。 更一般地，可以针对两个不同的哈密顿函数 G,H\in C^\infty(M) 考虑此计算，其中泊松括号 \{G,H\}= \omega (X_G,X_H) 类似地得出：

: \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}G(\phi_H(x,t))
=\omega(X_G,X_H)(\phi_H(x,t))
=\{G,H\}(\phi_H(x,t)),

所以 G(\phi_H(x,t))
是常数当且仅当 \{G,H\}=0 时。它们是时间演化的刘维尔方程和关于守恒量与对称性对应关系的诺特定理。

== 网页链接 ==

* nlab:Hamiltonian+vector+field|nLab 上的哈密尔顿向量场（英语|英语）

==文献==

* *
== 个人证据 ==


类别：辛拓扑