狄拉克-凯勒方程
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“Dirac-Kähler 方程”（也称为“Ivanenko-Landau-Kähler 方程”）是 Dirac 方程在伪黎曼流形上的几何公式，使用广义的伪黎曼流形拉普拉斯算子#Hodge-Laplace 算子|Laplace–de Rham 算子。该方程由 Dmitri Ivanenko 和 Lev Dawidowitsch Landau|Lew Landau 于 1928 年发现
==建设==
令M为n维光滑流形。外导数|微分 \mathrm{d}\colon
\Omega^k(M)\rightarrow\Omega^{k+1}(M) 增加微分形式的次数和伴随微分\delta\colon
\Omega^k(M)\rightarrow\Omega^{k-1}(M) 减少了微分形式的阶数。广义拉普拉斯算子#Hodge-Laplace 算子|Laplace–de Rham 算子：
: \Delta
=\mathrm{d}\delta
+\delta\mathrm{d}\冒号
\Omega^k(M)\rightarrow\Omega^k(M)
因此获得微分形式的程度。复杂度条件 \mathrm{d}^2
=\delta^2
=0 产生关系 (\mathrm{d}\pm\delta)^2
=\pm\Delta，其中狄拉克算子|狄拉克算子的存在与狄拉克方程的构造类似，因此它的平方就是拉普拉斯-德拉姆算子。然而，这些不能再在单次微分形式的向量空间上定义，因此到直和的过渡是：
: \欧米茄(M)
=\bigoplus_{k=0}^n\Omega^k(M)
必要的。这些狄拉克算子之一是“狄拉克-卡勒算子”：
: \mathrm{d}-\delta\冒号
\Omega(M)\rightarrow\Omega(M)。
对于标量 m\in \mathbb {R} 和微分形式 \omega\in\Omega^k(M)，“狄拉克-凯勒方程”为给出者：
: (\mathrm{d}-\delta+m)\omega=0.
它由 n+1 微分形式的 n+3 耦合微分方程组成。对于\omega
=\sum_{k=0}^n\omega_k 与 \omega_k\in\Omega^k(M) 这些由下式给出：
: \mathrm{d}\omega_{k-1}
-\delta\omega _{k+1}
+m\omega_k=0
对于k=-1,0,\ldots,n,n+1。对于边缘情况 k=-1 和 k=n+1 这会导致 \mathrm{d}\omega_n=0 和 \delta\omega_0=0，由于程度原因，无论如何都必须适用，因为 M 上没有 -1 和 n+1 形式 给出。这意味着对于 n+1 微分形式实际上只有 n+1 耦合微分方程。对于 k=0 和 k=n ，结果为：
: -\delta\omega_1
+m\omega_0=0
: \mathrm{d}\omega_{n-1}
+m\omega_n=0。
将 \mathrm{d}-\delta-m 应用于 Dirac–Kähler 方程，就变成 Klein–Gordon 方程 (\Delta+m^2)\omega=0 ，其中各个微分方程解耦，因此每个单独的微分形式 \omega_k 与 (\Delta^2+m^2)\omega_k=0 小–戈登方程成立。如果将运算符 \mathrm{d}+\delta 用于 Dirac-Kähler 方程，则它们将变为 (\Delta-m^2)\omega=0 履行。
* nlab:Kähler-Dirac+operator|nLab 上的Kähler–Dirac 算子（英语|英语）
类别：量子场论
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