卡门-摩尔理论 ⇐ 文章草稿

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“卡门-摩尔理论”是细长物体上超音速流动的线性化理论，以 Theodore von Kármán 和 Norton B. Moore 命名，他们于 1932 年提出了该理论。Von Karman, T ., & Moore, N. B. (1932)。以超音速运动的细长物体的阻力，特别是弹丸。美国机械工程师学会会刊，54(2), 303-310。Ward, G. N. (1949)。超音速流过细长的尖头物体。 The Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics, 2(1), 75-97。 该理论特别为波阻力提供了一个明确的公式，它将运动物体的动能转换成后面传出的声波身体。
==数学描述==
考虑一个细长的身体，前面和后面都有尖边。由于形成的冲击波（一个在前缘，一个在后缘）很弱，因此经过该物体的超音速流将几乎与 x 轴平行；因此，流动到处都是势能，这可以使用速度势 \phi' = xv_1 + \phi 来描述，其中 v_1 是传入的匀速速度， \phi 表征与均匀流的小偏差。在线性化理论中，\phi 满足

:\frac{\partial^2\phi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2\phi}{\partial z^2} - \beta^2 \frac{\partial^ 2\phi}{\partial x^2} =0,

其中 \beta^2=(v_1^2-c_1^2)/c_1^2=M_1^2-1，c_1 是传入流中的声速， M_1 是传入流的马赫数。这只是二维波动方程，\phi 是用表观时间 x/v_1 和表观速度 v_1/\beta< 传播的扰动。 /数学>。

令原点(x,y,z)=(0,0,0)位于尖体的前端。此外，令 S(x) 为横截面积（垂直于 x 轴），l 为细长条的长度体，因此对于 x1 来说 S(x)=0。当然，在超音速流中，扰动（即\phi）只能传播到马赫波|马赫锥后面的区域。前缘的弱马赫锥由 x-\beta r=0 给出，而后缘的弱马赫锥由 x-\beta r = l< 给出/math>，其中 r^2=y^2+z^2 是距 x 轴的径向距离的平方。

远离身体的扰动就像柱面波的传播。在圆锥体x-\beta r=0前面，解简单地由\phi=0给出。在圆锥体 x-\beta r = 0 和 x-\beta r = l 之间，解由 Landau, L. D. 给出， ＆Lifshitz，E.M.（2013）。流体力学：Landau 和 Lifshitz：理论物理课程，第 6 卷（第 6 卷）。爱思唯尔。第 123 节。第 123-124 页

:\phi(x,r) = - \frac{v_1}{2\pi}\int_0^{x-\beta r} \frac{S'(\xi)d\xi}{\sqrt{ (x-\xi)^2-\beta^2r^2

而圆锥后面的x-\beta r = l，解由下式给出

:\phi(x,r) = - \frac{v_1}{2\pi}\int_0^{l} \frac{S'(\xi)d\xi}{\sqrt{(x-\ xi)^2-\beta^2r^2.

上述解决方案对于所有r都是精确的，细长物体是固体或旋转体。如果不是这种情况，则解在长距离处有效将具有与冲击轮廓的非线性失真相关的校正，其强度与(M_1-1)^{1/8}r^成正比{-3/4} 和取决于形状函数 S(x) 的 fcator。Whitham, G. B. (2011)。线性和非线性波。约翰·威利父子。第 335-336 页。

阻力（物理）|阻力 F 只是每时间动量的 x 分量。要计算此值，请考虑一个具有大半径且轴沿 x 轴的圆柱表面。穿过该表面的动量通量密度可简单地由下式给出： \Pi_{xr}=\rho v_r (v_1+v_x)\approx \rho_1 (\partial\phi/\partial r)(v_1+\partial\phi/ \部分x）。 在圆柱面上积分 \Pi_{xr} 即可得出阻力。由于对称性，积分时 \Pi_{xr} 中的第一项为零，因为所考虑的圆柱表面上的净质量通量 \rho v_r 为零。第二项给出非零贡献，

:F = -2\pi r \rho_1 \int_{-\infty}^\infty \frac{\partial \phi}{\partial r}\frac{\partial\phi}{\partial x} dx .

在长距离处，值 x-\xi \sim \beta r（波域）在 \phi 的解中是最重要的；这是因为，如前所述，\phi 是一种以速度 v_1/\beta 传播且视在时间 x/v_1 的扰动。这意味着我们可以将分母中的表达式近似为(x-\xi)^2-\beta^2r^2\approx 2\beta r (x-\xi-\beta r)。 然后我们可以写，例如，

:\phi(x,r) = - \frac{v_1}{2\pi\sqrt{2\beta r\int_0^{x-\beta r} \frac{S'(\xi)d\ xi}{\sqrt{x-\xi-\beta r = - \frac{v_1}{2\pi\sqrt{2\beta r\int_0^{\infty} \frac{S'(x-\beta r-s )ds}{\sqrt{s, \quad s=x-\xi-\beta r, \,\,r\gg 1.

从这个表达式，我们可以计算 \partial\phi/\partial r，它也等于 -\beta\partial\phi/\partial x，因为我们在波区。出现在积分前面的因子 1/\sqrt r 无需微分，因为这会产生与 1/r 成比例的小修正。进行微分并返回到原始变量，我们发现

:\frac{\partial \phi}{\partial r} = -\beta \frac{\partial \phi}{\partial x}= \frac{v_1}{2\pi}\sqrt{\frac {\beta}{2r\int_0^{x-\beta r} \frac{S''(\xi)d\xi}{\sqrt{x-\xi-\beta r。

将其代入阻力公式中可以得到

:F = \frac{\rho_1 v_1^2}{4\pi} \int_{-\infty}^\infty \int_0^X \int_0^X \frac{S''(\xi_1)S' '(\xi_2) d\xi_1d\xi_2dX}{\sqrt{(X-\xi_1)(X-\xi_2), \quad X=x-\beta r。

这可以通过对 X 进行积分来简化。当积分顺序更改时，X 的限制范围为 \mathrm{max}(\xi_1,\xi_2) 到 L\to\infty< /数学>。整合后，我们有

:F = - \frac{\rho_1 v_1^2}{2\pi} \int_0^l \int_0^{\xi_2} S''(\xi_1)S''(\xi_2)[\ln( \xi_2-\xi_1)-\ln 4L]d\xi_1d\xi_2。

包含L项的积分为零，因为S'(0)=S'(l)=0（当然，除了S(0) =S(l)=0)。

波浪阻力的最终公式可写为

:F = - \frac{\rho_1 v_1^2}{2\pi} \int_0^l \int_0^{\xi_2} S''(\xi_1)S''(\xi_2)\ln(\ xi_2-\xi_1)d\xi_1d\xi_2,

或

:F = - \frac{\rho_1 v_1^2}{2\pi} \int_0^l \int_0^{l} S''(\xi_1)S''(\xi_2)\ln|\xi_2 -\xi_1|d\xi_1d\xi_2。

阻力系数由下式给出：

:C_d = \frac{F}{\rho_1^2 v_1^2 l^2/2}。

由于 F\sim \rho_1 v_1^2 S^2/l^2 由 C_d \sim S^2/l^4 给出的公式得出，表明阻力系数与横截面积的平方成正比，与车身长度的四次方成反比。

对于给定的体积V和长度l，可以从波浪阻力公式获得具有最小波浪阻力的形状。这种形状被称为 Sears-Haack 体。Haack, W. (1941)。 Geschossformen kleinsten Wellenwiderstandes。 Bericht der Lilienthal-Gesellschaft，136(1), 14-28。Sears, W. R. (1947)。关于最小波阻力的射弹。应用数学季刊，4(4), 361-366。

流体动力学