SO(n) 的分类空间 ⇐ 文章草稿

[Guest]

'''分类空间|分类空间''' \operatorname{BSO}(n) '''特殊正交群|特殊正交李群''' \operatorname {SO}(n) 是通用主纤维束的基空间|通用\operatorname{SO}(n)-主纤维束|主纤维束\operatorname {ESO}(n)\rightarrow\operatorname{BSO}(n)。这意味着 CW 复形上的 \operatorname{SO}(n) 主纤维束与其连续函数的同伦类|同伦类|连续映射在 \operatorname{BSO 中}(n) 站立。双射由收缩纤维束|收缩主纤维束给出。

== 定义 ==
实数定向格拉斯曼流形|格拉斯曼流形由 \widetilde\operatorname{Gr}_n(\mathbb{R}^k)\hookrightarrow\widetilde\operatorname{Gr}_n(\mathbb {R }^{k+1}),
V\映射到 V\times\{0\}。他们的直接限制是：Milnor & Stasheff 74，第 151 页第 12.2 节“定向通用捆绑包”

: \操作符名称{BSO}(n)
:=\widetilde\operatorname{Gr}_n(\mathbb{R}^\infty)
:=\lim_{n\rightarrow\infty}\widetilde\operatorname{Gr}_n(\mathbb{R}^k)。

由于实数定向格拉曼流形可以表示为齐次空间：

: \widetilde\operatorname{Gr}_n(\mathbb{R}^k)
=\operatorname{SO}(n+k)/(\operatorname{SO}(n)\times\operatorname{SO}(k))

群结构被传输到\operatorname{BSO}(n)。

==最小分类空间==

* 是 \operatorname{SO}(1)
\cong 1 是平凡群，因此 \operatorname{BSO}(1)
\cong\{*\} 平凡的拓扑空间。

* 是 \operatorname{SO}(2)
\cong\operatorname{U}(1) 因此 \operatorname{BSO}(2)
\cong\operatorname{BU}(1)
\cong\mathbb{C}P^\infty 无限复射影空间|无限复射影空间。

==主要纤维束分类==
对于拓扑空间|拓扑空间 X 令 \operatorname{Prin}_{\operatorname{SO}(n)}(X) 为 \ 的集合操作符名称{SO}(n)-这一点上的主纤维束同构。如果X是CW复数，则映射为：

: [X,\operatorname{BSO}(n)]\rightarrow\operatorname{Prin}_{\operatorname{SO}(n)}(X),
[f]\mapsto f^*\operatorname{ESO}(n)

双射。
== 上同调环 ==
系数为 \mathbb{Z}_2 的 \operatorname{BSO}(n) 的上同调环由 Stiefel-Whitney 类|Boots–Whitney 类生成： < ref name=":9">Milnor 和 Stasheff，定理 12.4。Hatcher 02，示例 4D.6。

: H^*(\operatorname{BSO}(n);\mathbb{Z}_2)
=\mathbb{Z}_2[w_2,\ldots,w_n]。

此结果更普遍地适用于所有字段（代数）|具有特征（代数）|特征 \operatorname{char}=2 的字段。

\operatorname{BSO}(n) 的上同调环，其系数位于有理数|有理数域 \mathbb{Q} 中，由 Pontrjagin 类定义， Euler 类创建：

: H^*(\operatorname{BSO}(2n);\mathbb{Q})
\cong\mathbb{Q}[p_1,\ldots,p_n,e]/(p_n-e^2),
: H^*(\operatorname{BSO}(2n+1);\mathbb{Q})
\cong\mathbb{Q}[p_1,\ldots,p_n]。

这些结果更普遍地适用于具有特征 \operatorname{char}\neq 2 的所有实体。

==无限的分类空间==
规范包含 \operatorname{SO}(n)\hookrightarrow\operatorname{SO}(n+1) 引发规范包含 \operatorname{BSO}(n)\hookrightarrow\operatorname{BSO }(n+1)在各自的分类空间上。 这两个包含链的直接限制分别给出为：

: \运算符名称{SO}
:=\lim_{n\rightarrow\infty}\operatorname{SO}(n)
: \操作符名称{BSO}
:=\lim_{n\rightarrow\infty}\operatorname{BSO}(n)

指定的。 \operatorname{BSO} 实际上是 \operatorname{SO} 的分类空间。

==另见==

* O(n)的分类空间
* U(n)的分类空间
* SU(n)的分类空间

==文献==

* * *

* nlab:classifying+space|nLab 上的分类空间（英语|english）
* nlab:BSO(n)|nLab 上的 BSO(n)（英文）



类别：代数拓扑