霍夫曼图 ⇐ 文章草稿

[Anonymous]

在图论的数学领域中，“霍夫曼图族”是由波兰研究员“Radosław Hofman”（2025）引入的有限图的无限族，作为研究哈密顿路径和哈密顿循环算法以及旅行商问题|旅行商问题（TSP）的相关方法的可扩展基准实例。 |last=霍夫曼
|第一=拉多斯瓦夫
|年=2025
|title=迪亚比等人的反例。旅行商问题的线性规划解决方案
|期刊=复杂性
|卷=2025
|pages=文章 ID 3672180
|doi=10.1155/cplx/3672180


霍夫曼图被设计为结构平衡和均匀连接，同时允许显式控制哈密顿路径和循环的存在。在许多情况下，构造还决定了为获得哈密顿循环而必须添加的最小边数。

该系列的动机是需要具有已知哈密顿性属性的大型图实例，以避免结构瓶颈或易于检测的分解，这可能会使算法的评估产生偏差。

== 定义 ==
霍夫曼图由两个整数参数化，通常表示为

:H(n,k)

其中：
* n 表示关联轮廓图“外部结构”中的顶点数，
* k 表示控制外部顶点如何连接到内部组件的步长（距离）。

该结构受到广义彼得森图的启发，但不同之处在于内部结构可能由多个断开的组件组成，并且外部-内部连接由称为“H 连接”的特殊连接器子图介导。

==轮廓图==
构造的第一阶段产生称为“轮廓霍夫曼图”的较小图，表示为

:oH(n,k)

轮廓图包括：
* 一个外循环结构，
* 一个或多个内部组件（通常是奇数循环，例如三角形），
* 外部和内部部件之间的连接器顶点。

霍夫曼没有直接连接外部和内部部分，而是引入了一个连接器顶点，强制任何哈密顿遍历在外部和内部区域之间交替。这种交替约束可以防止哈密顿路径或循环的存在，具体取决于内部组件的奇偶性和数量。

== 平衡 H 型连接 ==
为了获得具有统一度和连接性的大型基准图，Hofman 引入了“平衡 H 连接”来取代简单的连接器。

在平衡构造中，每个 H 连接都被一个固定的 15 顶点子图替换，该子图保留哈密顿交替约束，同时确保生成的图是规则的。在生成的图中，每个顶点的度数都是 4。

当在整个轮廓中使用平衡连接器时，生成的霍夫曼图通常为：
* '''4-regular'''（所有顶点的度数为 4），
* '''4-connected'''（在预期的结构中），
* 可扩展到任意大的尺寸。

例如，图 H(12,4) 包含 12 \cdot 15 = 180 个顶点。

== 哈密顿性质 ==
霍夫曼图族的中心目的是哈密顿性质由构造控制。 根据参数和所选内部组件，霍夫曼图可能：
* 包含哈密顿循环，
* 包含哈密顿路径但没有哈密顿循环，
* 既不包含跨越所有顶点的哈密顿路径，也不包含哈密顿循环。

此外，在许多情况下，构造会产生获得哈密顿度所需添加的最小边数。

例如：
* H(12,3) 包含哈密顿循环，
* H(12,5) 包含哈密顿路径，但没有哈密顿循环，
* H(12,4) 既不包含跨越所有顶点的哈密顿路径，也不包含哈密顿循环。

== TSP 基准测试中的扩展和使用 ==
霍夫曼引入了一种缩放方法，通过将霍夫曼图嵌入到加权完整图中来构建大型旅行商问题|TSP基准实例。

该方法添加两个外部顶点：
* 指定的起始顶点，以及
* 指定的结束顶点，

并将较低的成本分配给霍夫曼子图内的边，并将非常高的成本分配给所有其他边。这迫使最佳游览以规定的方式遍历霍夫曼子图。由于所需的“昂贵”边的数量可以从基础霍夫曼图的哈密顿性属性中得出，因此可以针对大型实例分析计算最佳游览值。

该技术可以通过将多个霍夫曼图连接成分层结构来扩展，生成具有数百或数千个顶点的实例，同时保留已知的最佳成本。

== 基于 LP 的 TSP 公式的反例 ==
霍夫曼图族是 Diaby 等人提出的 TSP 多项式大小线性规划公式的反例的一部分。

Diaby 的方法尝试使用类似流程的变量和约束来对有效的 TSP 游览进行建模。 Hofman 构建了一个基于 Hofman 的基准实例，其中真正的最优 TSP 成本已知，而 LP 松弛产生严格较小的目标值。这证明了存在与有效游览不对应的可行 LP 解决方案（“幻影解决方案”）。

该用例支持了更广泛的担忧，即多项式大小的线性程序在没有额外证明的情况下无法完全表征 TSP 多胞体，与文献中的早期论点一致。 |last=霍夫曼
|第一=拉多斯瓦夫
|年=2006年
|title=为什么线性规划无法在多项式时间内解决大量 NP 完全问题
|eprint=cs/0611008
|class=cs.CC


== 示例 ==
下表列出了 Hofman 描述的示例实例。

== 与 Petersen 类型结构的关系 ==
霍夫曼图族受到广义彼得森图（例如经典彼得森图）的启发，但在几个方面有所不同：

* 内部结构可能由多个不相连的组件组成。
* 外-内链接是通过 H 型连接而不是直接边缘来调节的。
* 哈密顿性质是明确控制的，而不是偶然的。
* 通过系统地替换连接器来获得大型平衡实例。

与著名的亚哈密顿图 Petersen 图不同，霍夫曼图可以构造为哈密顿图、非哈密顿图或缺少哈密顿路径。

==另见==

* 哈密顿路径
* 哈密顿循环
* 旅行商问题
* NP-完备性
* 广义 Petersen 图
* 彼得森图
* 梅雷迪思图

==注释==

*

图论中的图
正则图
哈密顿图论
旅行商问题
计算复杂性理论
NP 完全问题