扩展相图 ⇐ 文章草稿

[Anonymous]

在磁共振成像和核磁共振中，扩展相图 (EPG) 是一种数学框架，用于通过一系列射频 (RF) 脉冲和梯度来跟踪体素中磁化强度的演变。传统的布洛赫方程|布洛赫模拟跟踪空间域中的各个自旋，而 EPG 在傅立叶域中运行。
== 定义 ==
在布洛赫方程中，体素内沿着维度 z 的每个自旋都可以通过磁化矢量 [M_x(z), M_y(z), M_z(z)]^T 来描述，其中每个元素都是实值。
\begin{align}

&S=\begin{bmatrix} 1 & i & 0 \\ 1 & -i & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}, &\mathbf{m}(z)=\begin{bmatrix} M_+(z) \\ M_-(z) \\ M_z(z) \end{bmatrix}=S \begin{bmatrix} M_x(z) \\ M_y(z) \\ M_z(z) \end{bmatrix}\\

\end{align}

其中 M_- 是 M_+ 的复共轭。为了根据具有角度 \alpha 和相位 \phi 的 RF 脉冲对复磁化矢量 \mathbf{m} 执行旋转，我们首先使用 S^{-1} 应用基础变化，然后应用标准笛卡尔旋转矩阵|旋转矩阵 R_z(\phi)， R_x(\alpha),
\begin{align}

&R_z(\phi)=\begin{bmatrix} \cos \phi & -\sin \phi & 0 \\ \sin \phi & \cos \phi & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix},\;\;R_x(\alpha)=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\
0 & \cos \alpha & -\sin \alpha \\
0 & \sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix}\\
&\\
&T_\phi (\alpha)=SR_z(\phi)R_x(\alpha)R_z(-\phi)S^{-1}\\
&\\
&T_\phi (\alpha)=\begin{bmatrix} \cos^2 \frac{\alpha}{2} & e^{2i\phi}\sin^2 \frac{\alpha}{2} & -e^{i\phi}\sin \alpha \\
e^{-2i\phi} \sin^2 \frac{\alpha}{2} & \cos^2 \frac{\alpha}{2} & ie^{-i\phi} \sin \alpha\\
-\frac{i}{2}e^{-i\phi} \sin \alpha & \frac{i}{2}e^{i\phi} \sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix}\\
&\\
&\mathbf{m}^+(z)=T_\phi (\alpha)\mathbf{m}(z)
\end{align}

其中\mathbf{m}^+表示旋转后的磁化矢量。在 EPG 表示中，我们对复磁化矢量的每个元素进行傅立叶分解：

\begin{align}

&M_+(z)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} F_+(k)e^{i2\pi kz} \; \向左箭头\; F_+(k)=\int_{-0.5}^{0.5} M_+(z)e^{-i2\pi kz}dz\\

&M_-(z)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} F_-(k)e^{i2\pi kz} \; \向左箭头\; F_-(k)=\int_{-0.5}^{0.5} M_-(z)e^{-i2\pi kz}dz\\

&M_z(z)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} Z(k)e^{i2\pi kz} \; \向左箭头\; Z(k)=\int_{-0.5}^{0.5} M_z(z)e^{-i2\pi kz}dz\\

\end{align}

当 k>n 或 k