Latalski-Gerster 推导 ⇐ 文章草稿

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Latalski-Gerster 推导是由 Tomasz Latalski 和 Lukas Gerster 在一个物理项目中开发的。他们研究了滚动体在斜面上的运动。该项目是与另一个研究所谓“原子衰变”的小组同时创建的，相比之下，“原子衰变”更容易分析。该推导使用拉格朗日力学简洁地展示了滚动体的运动方程，并说明了重力影响下刚体的平移和旋转动力学的组合。

==系统说明==
考虑一个均匀的圆柱体或一个在倾斜角为 α\alphaα 的斜面上向下滚动而不滑动的轮子。

x 坐标测量身体沿平面的位置。

离地高度的几何计算公式为

h = x/\sin(\alpha)

== 拉格朗日函数 ==
系统的拉格朗日函数为

\mathcal{L} = T - V

其中 T 表示动能，V 表示势能。

===动能===
动能由平移能和旋转能组成：

T = \frac12 m \dot{x}^{2} + \frac12 I \dot{\varphi}^{2}

对于实心圆柱体适用

I = \frac12 m R^{2}

由于车身滚动时没有打滑，因此滚动条件适用：

\dot{x} = R \dot{\varphi}

将结果插入：

T = \frac12 m \dot{x}^{2} + \frac14 m \dot{x}^{2} = \frac34 m \dot{x}^{2}

===势能===
势能由圆柱体的高度产生：

V = m g h = m g x \sin(\alpha)

===拉格朗日函数===
结果是：

\mathcal{L} = \frac34 m \dot{x}^{2} - m g x \sin(\alpha)

== 欧拉-拉格朗日方程 ==
运动方程如下：

\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial \mathcal{L{\partial \dot{x \right) - \frac{\partial \mathcal{L{\partial x} = 0

所需的推导是：

\frac{\partial \mathcal{L{\partial x} = - m g \sin(\alpha)

\frac{\partial \mathcal{L{\partial \dot{x = \frac32 m \dot{x}

时间推导：

\frac{d}{dt} \left( \frac32 m \dot{x} \right) = \frac32 m \ddot{x}

代入欧拉-拉格朗日方程：

\frac32 m \ddot{x} + m g \sin(\alpha) = 0.

\frac32 m \ddot{x} - m g \sin(\alpha) = 0

解决加速问题：

\ddot{x} = \frac{2}{3} g \sin(\alpha)

==结果==
Latalski-Gerster 导数导致了众所周知的均匀圆柱体的加速度，该圆柱体在没有滑移的情况下沿着斜面滚动：

\ddot{x} = \frac{2}{3} g \sin(\alpha)

这个加速度比沿平面的纯重力加速度小，因为部分能量流入了物体的旋转。

类别：物理