可怕的数字文章草稿

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 可怕的数字

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在数论中,“可憎数”是指二进制系统中具有奇数个 1 的非负整数。Neil Sloane:[https://oeis.org/A000069 序列 A000069:可憎数数字:二进制展开式中含有奇数个 1 的数字],在线整数序列百科全书 不令人讨厌的非负整数被称为“邪恶数字”。

数学家约翰·霍顿·康威|约翰·康威在其 1982 年出版的著作“您的数学游戏的制胜之道”20Mathematical%20Plays%20V1.pdf 《您的数学游戏的制胜之道》,第 1 卷,第 110 页] (PDF) 名称是根据文字游戏确定的。 “恶数”有一个“奇数”,即奇数个,“恶数”有一个“偶数”,即偶数个。

== 示例==
* k=22 的二进制表示(即双系统中的表示)为:
:: 22=16+0+4+2+0=1 \cdot 2^4+0 \cdot 2^3+1 \cdot 2^2+1 \cdot 2^1+0 \cdot 2^ 0 = (10110)_2
:该二进制表示由 3 个 1 组成。 3 是奇数,因此 k=22 是一个令人厌恶的数字。

* k=27 的二进制表示为:
:: 27=16+8+0+2+1=1 \cdot 2^4+1 \cdot 2^3+0 \cdot 2^2+1 \cdot 2^1+1 \cdot 2^ 0 = (11011)_2
:该二进制表示由 4 个 1 组成。 4 是偶数,因此 k=27 不是一个可怕的数字,而是一个邪恶的数字。

* 第一个小于 100 的可怕数字是:
* 1、2、4、7、8、11、13、14、16、19、21、22、25、26、28、31、32、35、37、38、41、42、44、47、 49, 50, 52, 55, 56, 59, 61, 62, 64, 67, 69, 70, 73, 74, 76, 79, 81, 82, 84, 87, 88, 91, 93, 94, 97, 98、……(
== 属性 ==
* 令 a(n) 为第 n 个可怕的数字(其中 a(0)=1)。
:那么以下内容适用:
:: a(a(n))=2 \cdot a(n) 对于所有 n
::: ''示例:''
:::: 让n=10。从上面的数字序列中您可以看到a(n)=a(10)=21。此外,a(a(n))=a(a(10))=a(21)=42。事实上,a(a(n)) = 42 = 2 \cdot 21 = 2 \cdot a(n)。

* 设n为正整数。那么以下内容适用:
:* n 的倍数是可怕的,最多为 n \cdot (n+4)。
:* 此上限较窄的数字正是具有偶数指数的梅森数,即 2^{2k}-1=4^k-1 形式的数字(即 3、15、 63、255、……( ::: ''示例:''
:::: 让n=10。那么从上面的数字序列中可以看出,在10的倍数中,数字70是第一个丑陋的。事实上,70 适用:p=3=2+1=1 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 =(11)_2。它由 2 个 1 组成,因此数字 p=3 是一个邪恶数字,因此从该语句中排除。 \框
:: ''示例:''
::: 对于第四个梅森素数 n=127=2^7-1 的二进制表示,以下内容适用:
:::: n=127=64+32+16+8+4+2+1=1 \cdot 2^6 + 1 \cdot 2^5 + 1 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2 ^3 + 1 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 =(1111111)_2。
::: 它有 7,这是奇数个(因为二进制中只有 1),所以这个数字是一个可怕的数字。

* 让d>2。那么以下两条语句适用:[https://www.numbersaplenty.com/set/odio ... ousnumbers] on ''Numbers Aplenty''
:* 邪恶恶心的数字数量相等,双系统中每个数字都有d位。
:* 双系中d位的恶数集合与双系中d位的恶心数集合的和相同,即
::: 3 \cdot 2^{2d-4}-2^{d-3}
:::: ''示例:''
::::: 让d=5。
::::: 那么正好有 8 个恶数,其二进制表示只有 5 位,即:
:::::: '''17'''=(10001)2, '''18'''=(10010)2, '''20 '''=(10100)2、'''23'''=(10111)2、'''24'''=(11000) 2、'''27'''=(11011)2、'''29'''=(11101)2 和 '''30 '''=(11110)2
::::: 此外,正好有 8 个可怕的数字,其二进制表示只有 5 位,即:
:::::: '''16'''=(10000)2, '''19'''=(10011)2, '''21 '''=(10101)2、'''22'''=(10110)2、'''25'''=(11001) 2、'''26'''=(11010)2、'''28'''=(11100)2 和 '''31 '''=(11111)2
::::: 显然邪恶数和邪恶数的数量是相等的,其二进制表示只有 5 位数字,即 8,这就是上面句子的第一条语句所要求的。
::::: 此外, 3 \cdot 2^{2d-4}-2^{d-3}=3 \cdot 2^{2 \cdot 5-4}-2^{5-3} =3 \cdot 2^6-2^2=3 \cdot {64}-4=192-4=188。
::::: 其实就是8个恶数的和,其二进制表示只有5位:
:::::: 17+18+20+23+24+27+29+30=188
::::: 对于 8 个可怕的数字之和,其二进制表示只有 5 位,适用以下规则:
:::::: 16+19+21+22+25+26+28+31=188
::::: 总和等于上面句子中所述的总和。

* '''Nim 加法''',\oplus,定义如下:
:: 对于每对整数、非负数 a,b \in \mathbb N,以下规则适用: (a)_{10} \oplus (b)_{10} = (a)_2+ (b)_2 与 0+0=0、0+1=1+0、1+1=0 (但是,在后一种情况下,不会转移到下一个更高的位置)。
:则适用以下内容:
:: 邪恶而丑陋的数字在“Nim 加法”下的表现,\oplus,就像“正常”加法下的偶数和奇数一样。 因此以下规则适用:
:::* 邪恶 \oplus 邪恶 = 邪恶
:::* 恶心 \oplus 恶心 = 邪恶
:::* 邪恶 \oplus 恶心 = 恶心 \oplus 邪恶 = 恶心
::::: ''示例 1:''
:::::: 上面显示 27=(11011)_2 是一个恶数,而且 51=(110011)_2 也是一个恶数:
::::::: 27_{10} \oplus 51_{10} = (11011)_2 + (110011)_2 = (101000)_2
:::::: 结果有偶数个 1,因此是一个邪恶的数字。
::::: ''示例 2:''
:::::: 上面显示 22=(10110)_2 是一个可怕的数字,而且 52=(110100)_2 也是一个可怕的数字:
::::::: 22_{10} \oplus 52_{10} = (10110)_2 + (110100)_2 = (100010)_2
:::::: 结果有偶数个 1,因此是一个邪恶的数字。
::::: ''示例 3:''
:::::: 上面显示了 51 是一个邪恶的数字,52 是一个可怕的数字:
::::::: 51_{10} \oplus 52_{10} = (110011)_2 + (110100)_2 = (000111)_2
:::::: 结果有奇数个,所以这是一个可怕的数字。

* 有几个已知的数字等于它们可怕的除数的总和。它们是:
* 28、496、8128、415800、2096128、33550336、8589869056( :除了 415800 和 2096128 之外,所有这些数字都是完全数。人们可以将上述数字称为“恶完美数”。Neil Sloane:[https://oeis.org/A212302 A212302:数字 k 的真恶除数之和 (A000069 ) 等于 k.],在线整数序列百科全书
::: ''示例:''
:::: 可怕的数字 n=28 的二进制表示是:
::::: n=28=16+8+4+0+0=1 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 0 \cdot 2^0 =(11100)_2
:::: 数字 n=28 有以下约数:d_1=1=(1)_2, d_2=2=(10)_2, d_3=4=(100)_2 ,d_4=7=(111)_2,d_5=14=(1110)_2。所有除数在其二进制表示中都有奇数个,因此所有除数都是可怕的数字。因此,可怕的数字 n=28 只有总计为 28 的可怕除数。

* 如果省略可怕数字的二进制表示的最后一位(即最后一位),您将得到一组自然数,即 0, 1, 2, 3, ...Neil Sloane:[https://oeis.org/A001969 序列 A001969:邪恶数字:二进制展开式中带有偶数个 1 的非负整数],在线整数序列百科全书

* 非负整数集合可以唯一分为恶数集合和恶数集合。它们具有相等的成对和的多重集。

* 在计算机科学中,令人讨厌的数字具有奇数奇偶校验位|奇偶校验。

==文献==
*

* * [https://www.numbersaplenty.com/set/odious_number/ odious Numbers] 在“Numbers Aplenty”



类别:整数集
类别:数论

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