分数卡普托导数 ⇐ 文章草稿

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“分数卡普托导数”是数学中以米歇尔·卡普托命名的非整数阶导数的推广。 1967 年，Caputo 首次定义了这种形式的分数阶微积分。
== 动机 ==
分数阶卡普托导数源自分数阶微积分#迭代和分数阶积分|分数阶黎曼-刘维尔积分。令 f 在 \left( 0,\, \infty \right) 中连续，则分数黎曼-刘维尔积分为 {^{\text{RL\operatorname{I 来自 f 给出的

{_{0}^{\text{RL\operatorname{I}_{x}^{\alpha\left[ f\left( x \right) \right] = \frac{ 1}{\Gamma\left( -\alpha \right)} \cdot \int\limits_{0}^{x} \frac{f\left( t \right)}{\left( x - t \right) ^{1 - \alpha \, \operatorname{d}t

其中 \Gamma\left( \cdot \right) 是伽玛函数。

让我们 \operatorname{D}_{x}^{\alpha} := \frac{\operatorname{d}^{\alpha{\operatorname{d}x^{\alpha 定义，规则为 \operatorname{D}_{x}^{\alpha} \operatorname{D}_{x}^{\beta} = \operatorname{D}_ { x}^{\alpha + \beta} 和 \operatorname{D}_{x}^{\alpha} = {^{\text{RL\operatorname{I } _{x}^{-\alpha 作为适用规则。如果 \alpha = m + z \in \mathbb {R} \wedge m \in \mathbb {N}_{0} \wedge 0 < z < 1，则如下\operatorname{D}_{x}^{\alpha} = \operatorname{D}_{x}^{m + z} = \operatorname{D}_{x}^ { z + m} = \运算符名称{D}_{x}^{z - 1 + 1 + m} = \运算符名称{D}_{x}^{z - 1}\运算符名称{D}_{x} ^ {1 + m} = {^{\text{RL\运算符名称{I_{x}^{1 - z}\运算符名称{D}_{x}^{1 + m}。因此，如果 f 是 C^{m}\left( 0,\, \infty \right)，则如下

{\operatorname{D}_{x}^{m + z\left[ f\left( x \right) \right] = \frac{1}{\Gamma\left( 1 - z \right)} \cdot \int\limits_{0}^{x} \frac{f^{\left( 1 + m \right)}\left( t \right)}{\left( x - t \right)^{z \, \operatorname{d}t.

这称为分数卡普托导数，常用符号 { ^{\text{C\operatorname{D_{x}^{\alpha}。

== 定义 ==
Caputo 分数阶导数的第一个定义是由 Caputo 给出的：

{^{\text{C\operatorname{D}_{x}^{m + z\left[ f\left( x \right) \right] = \frac{1}{ \Gamma\left( 1 - z \right)} \cdot \int\limits_{0}^{x} \frac{f^{\left( m + 1 \right)}\left( t \right)}{ \left( x - t \right)^{z \, \operatorname{d}t

与 f C^{m}\left( 0,\, \infty \right) 和 m \in \mathbb{N} _{0} \楔形 0 < z < 1。
另一个流行的等效定义是：

{^{\text{C\operatorname{D}_{x}^{\alpha\left[ f\left( x \right) \right] = \frac{1}{\ Gamma\left( \left\lceil \alpha \right\rceil - \alpha \right)} \cdot \int\limits_{0}^{x} \frac{f^{\left( \left\lceil \alpha \ right\rceil \right)}\left( t \right)}{\left( x - t \right)^{\alpha + 1 - \left\lceil \alpha \right\rceil\, \operatorname{d}t

其中 \alpha \in \mathbb{R}_{> 0} \setminus \mathbb{N} 和 \left\lceil \cdot \ right\rceil 是舍入函数和舍入函数|舍入函数。这可以通过替换 \alpha := m + z 以及 \left\lceil \alpha \right\ 的事实来完成rceil = m + 1 适用，因此 \left\lceil \alpha \right\rceil + z = \alpha + 1 如下。
另一个流行的等效定义是：

{^{\text{C\operatorname{D}_{x}^{\alpha\left[ f\left( x \right) \right] = \frac{1}{\ Gamma\left( n - \alpha \right)} \cdot \int\limits_{0}^{x} \frac{f^{\left( n \right)}\left( t \right)}{\left ( x - t \right)^{\alpha + 1 - n\, \operatorname{d}t

与 n - 1 < \alpha < n \in \mathbb{N}。 。

这些定义的问题在于它们只允许 \left( 0,\, \infty \right) 中的参数。这可以通过将积分的下限与 a 交换来解决：{_{a}^{\text{C\operatorname{ D }_{x}^{\alpha\left[ f\left( x \right) \right] = \frac{1}{\Gamma\left( \left\lceil \alpha \right\rceil - \alpha \ right )} \cdot \int\limits_{a}^{x} \frac{f^{\left( \left\lceil \alpha \right\rceil \right)}\left( t \right)}{\left ( x - t \right)^{\alpha + 1 - \left\lceil \alpha \right\rceil\, \operatorname{d}t。 新域为 \left( a,\, \infty \right)。
== 属性和句子 ==

===重要属性和句子===
一些重要的属性是：
==== 反交换性 ====
索引规则是不可交换的：

\operatorname{_{a}^{\text{CD}_{x}^{\alpha}\operatorname{_{a}^{\text{CD}_{x}^ {\beta} = \操作符名称{_{a}^{\text{CD}_{x}^{\alpha + \beta} \ne \操作符名称{_{a}^{\text{CD}_{x }^{\beta}\运算符名称{_{a}^{\text{CD}_{x}^{\alpha}

与 \alpha \in \mathbb {R}_{> 0} \setminus \mathbb {N} \wedge \beta \in \mathbb {N}。

====分数乘积规则====
分数 Caputo 导数的乘积规则由下式给出：

\operatorname{_{a}^{\text{CD}_{x}^{\alpha}\left[ g\left( x \right) \cdot h\left( x \右) \right] = \sum\limits_{k = 0}^{\infty}\left[ \binom{a}{k} \cdot g^{\left( k \right)}\left( x \right ) \cdot \operatorname{_{a}^{\text{RLD}_{x}^{\alpha - k}\left[ h\left( x \right) \right] \right] - \frac{\ left( x - a \right)^{-\alpha{\Gamma\left( 1 - \alpha \right)} \cdot g\left( a \right) \cdot h\left( a \right)