博戈莫尼方程
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by Anonymous »
“博戈莫尔尼方程”是数学规范理论中描述磁单极子的方程。这是在三个维度上表述的，并通过四个维度的自对偶杨-米尔斯方程|自对偶杨-米尔斯方程（SDYM 方程）进行降维。这些方程以尤金·博戈莫尼 (Eugene Bogomolny) 的名字命名。 Michael Francis Atiyah|Michael Atiyah 和 Nigel Hitchin 等人对 Bogomolny 方程，特别是单极子|模空间的模空间进行了研究。仅在封闭流形上出现微不足道的解。
==配方==
令 G 为李群，李代数 \mathfrak{g} 且 E\twoheadrightarrow B 为 G -具有三维黎曼流形的主纤维束|黎曼流形B。平滑切割 \Phi\in\Omega_{\operatorname{Ad^0(E,\mathfrak{g})
\cong\Omega^0(B,\operatorname{Ad}(E))
\cong\Gamma^\infty(B,\operatorname{Ad}(E)) （表示 Yang-Mills-Higgs 方程中的 Higgs 场）和连接（主丛）|连接 A\in\Omega_{\operatorname{Ad^1(E,\mathfrak{g})
\cong\Omega^1(B,\operatorname{Ad}(E)) 曲率形式为 F_A:=\mathrm{d}_AA
:=\mathrm{d}A+[A\楔形 A]
\in\Omega_{\operatorname{Ad^2(E,\mathfrak{g})
\cong\Omega^2(B,\operatorname{Ad}(E)) 是由以下公式给出的 Bogomolny 方程：
：F_A=\star\mathrm{d}_A\Phi。
== 与 Yang-Mills 方程的联系 ==
尽管具有 Bianchi 恒等式 \mathrm{d}_A\mathrm{d}_A\Phi
，Bogomolny 方程的解不一定是 Yang-Mills 方程的解 +[\Phi,F_A]
=0
: \mathrm{d}_A\star F_A
=\mathrm{d}_A\star^2\mathrm{d}_A\Phi
=\pm\mathrm{d}_A^2\Phi
=\mp[\Phi,F_A]。
这使得偏微分方程可以从二次减少到一次并且更容易求解。然而，由于还假设求解 Bogomolny 方程，因此并非所有解都会产生。
== 与 Yang-Mills-Higgs 方程的联系 ==
Bogomolny 方程的解是第二个 Yang-Mills-Higgs 方程的解，因为它直接与 Bianchi 恒等式 \mathrm{d}_AF_A
=0 落后：
: \mathrm{d}_A\star\mathrm{d}_A\Phi
=\mathrm{d}_AF_A
=0。
==文献==
* *
* nlab:Bogomolny+equation|𝑛Lab 上的 Bogomolny 方程|''n''Lab (English language|english)
类别：微分几何
类别：磁性
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