米尔诺猜想（微分几何） ⇐ 文章草稿

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在数学中，“米尔诺猜想”现已被微分几何证明是错误的。

==配方==

“米尔诺猜想”指出，对于具有非负里奇曲率的大地测量完备流形|完备黎曼流形，基本群 有限生成群|有限生成 应该是。

这概括了迈尔斯定理，根据该定理，在里奇曲率上具有正下界的完全黎曼流形是基本群有限群|有限。

==确认==

米尔诺猜想对于曲面（数学）|曲面来说是正确的，因为曲率非负且非常数零的曲面必须是紧空间|紧或同胚于 \R^2 。这是来自 Stefan Cohn-Vossen 的著作。S. Cohn-Vossen：“曲面上的最短路径和总曲率。”
组合数学。 2：69–133（1935）

Milnor 猜想对于 3 流形也是正确的。这是因为具有非负 Ricci 曲率的 3-流形（不是曲面和 1-流形的公制积）必须是紧致的或同胚于 \R^3 的。这是来自 Richard Schoen|Schoen-Shing-Tung Yau|Yau 和 Gang Liu|Liu 的工作。R.舍恩，S.-t。丘：“具有正里奇曲率和标量曲率的完整三维流形。”微分几何研讨会。 (AM-102)，普林斯顿大学出版社，第 209-228 页 (1982)G. Liu：“具有非负 Ricci 曲率的 3-流形。”Inventiones Mathematicae。 193 (2): 367–375 (2013)

目前尚不清楚米尔诺猜想对于4-和5-维流形是否也正确。

==反驳==

对于维度至少为 6 的流形，米尔诺猜想被 Elia Brué|Brué、Aaron Naber|Naber 和 Daniele Semola|Semola 驳斥。特别是，他们发现了一个带有基本群 \Q/\Z 的非负 Ricci 曲率流形 7 的示例。E。 Brué、A. Naber、D. Semola：“基本群和 Milnor 猜想。”出现在：《数学年鉴》（2025 年） 作者发现了一种新的具有无限生成基本群的流形拓扑构造，称之为科赫曲线|分形雪花的平滑（可微分）版本。这种构造基于非常扭曲的连接，最终基于里奇曲率和流形 S^3\times S^3 的映射类组之间的连接。特别是，它们表明映射类组将标准产品度量映射到正 Ricci 曲率度量空间的连通空间#WayConnected|WayConnected 组件中的度量。



类别：微分几何