伯克-琼斯检验 ⇐ 文章草稿

[Anonymous]

“Berk-Jones 检验”（或“BJ 检验”）是指一类非参数拟合优度统计检验，用于确定一组观测数据是否遵循特定的概率分布。该检验由 Robert H. Berk 和 Douglas H. Jones 于 1979 年提出，经过专门设计，在分布尾部比 Kolmogorov-Smirnov 检验更强大。
==背景==
在统计假设检验中，拟合优度检验将经验分布函数 (EDF) 与理论累积分布函数 (CDF) 进行比较。虽然柯尔莫哥洛夫-斯米尔诺夫检验可以说是最著名的方法，但它经常因其对分布极端（尾部）发生的偏差缺乏敏感性而受到批评。

Berk-Jones 检验通过采用“逐点”最大似然比方法解决了这一缺点。它仍然属于至上型统计家族，但也包含信息论属性，特别是 Kullback-Leibler 散度。

==数学公式==
令 X_1,X_2,\dots,X_n 为具有经验分布函数 \mathbb{F}_n(x) 的独立同分布 (i.i.d.) 随机变量。我们希望检验原假设 H_0: F = F_0。

Berk-Jones 统计量 R_n 定义为：
:R_n = \sup_{x} K(\mathbb{F}_n(x), F_0(x))
其中 K(p,q) 是二元 Kullback-Leibler 散度（或相对熵），定义为：
:K(p,q) = p \log \left(\frac{p}{q}\right) + \left(1-p\right)\log\left(\frac{1-p}{1-q}\right)
该统计量也可以用顺序统计量 X_{(1)} < X_{(2)} < \cdots