六维塞伯格-维滕理论 ⇐ 文章草稿

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“六维Seiberg-Witten理论”（简称“D = 6 SW”）是Seiberg-Witten理论从四维黎曼流形|黎曼流形到六维黎曼流形的转移。

== 描述 ==
在Seiberg-Witten理论中，首先需要选择一个自旋结构|spinᶜ结构（复自旋结构），一种特殊的切向结构|切向结构，它是由自旋基团|spinᶜ群的高程性质|高程来定义的。在四维情况下，异常同构
\operatorname{Spin}(4)
=\操作员名称{SU}(2)\次\操作员名称{SU}(2)
小组使用：

：
\operatorname{Spin}^\mathrm{c}(4)
:=\big(\operatorname{Spin}(4)\times\operatorname{U}(1)\big)/\mathbb{Z}_2
=\operatorname{U}(2)\times_{\operatorname{U}(1)}\operatorname{U}(2)
=\{(A,B)\in\operatorname{U}(2)\times\operatorname{U}(2)|\det(A)=\det(B)\}。


它们的结构导致两个相关的旋量丛。在物理学中，这些描述了正手性和负手性（物理学）|手性。在六维情况下它具有非凡的同构
\operatorname{Spin}(6)
=\operatorname{SU}(4)
使用的组：

：
\operatorname{Spin}^\mathrm{c}(6)
:=\big(\operatorname{Spin}(6)\times\operatorname{U}(1)\big)/\mathbb{Z}_2
\cong\big(\operatorname{SU}(4)\times\operatorname{U}(1)\big)/\mathbb{Z}_2.


由于规范同构
\operatorname{U}(4)
\cong\big(\operatorname{SU}(4)\times\operatorname{U}(1)\big)/\mathbb{Z}_4
给自己一个双重覆盖（拓扑）|Overlay
\operatorname{Spin}^\mathrm{c}(6)\twoheadrightarrow\operatorname{U}(4)
。或者，这是一个
\operatorname{O}(1)
-主纤维丛或实线丛（纤维束）|线丛
\operatorname{Spin}^\mathrm{c}(4)\times_{\operatorname{O}(1)}\mathbb{R}\twoheadrightarrow\operatorname{U}(4)
使用平衡积|平衡积。这些正是由第一个 Boots-Whitney 类|Boots-Whitney 类
w_1(\operatorname{Spin}^\mathrm{c}(4))\in H^1(\operatorname{U}(4),\mathbb{Z}_2)
基于 CW 复合体进行分类|CW 复合体如
\operatorname{U}(4)
是群同构。关于万能系数定理|万能系数定理和Hurewicz定理如下：

：
H^1(\operatorname{U}(4),\mathbb{Z}_2)
\cong\operatorname{Hom}(H_1(\operatorname{U}(4),\mathbb{Z}),\mathbb{Z}_2)
\cong\operatorname{Hom}(\pi_1^\mathrm{ab}\operatorname{U}(4),\mathbb{Z}_2)
\cong\operatorname{Hom}(\mathbb{Z},\mathbb{Z}_2)
\cong\mathbb{Z}_2.



\pi_1\operatorname{U}(4)\cong\mathbb{Z}
由行列式是
得出 \det\colon\operatorname{U}(4)\rightarrow\operatorname{U}(1)
在基本群上引入群同构。因此，上述 Boots-Whitney 类有两种可能性，即消失和明显非消失。然而，前面的情况导致
\operatorname{Spin}^\mathrm{c}(6)\cong\operatorname{U}(4)\times\operatorname{O}(1)
左边是连通空间，右边是非连通空间，这就是为什么它一定是后壳。事实上，O(n)|分类图的分类空间甚至可以简单地给出：

：
i\circ\det\冒号
\operatorname{U}(4)\rightarrow\operatorname{U}(1)\cong S^1\cong\mathbb{R}P^1\hookrightarrow\mathbb{R}P^\infty\cong\operatorname{BO}(1)


真正的Hopf纤维
结果沿后方撤退 i^*\operatorname{EO}(1)
=i^*S^\infty
\cong S^1
\twoheadrightarrow S^1
具有明显不平凡的 Boots-Whitney 类
w_1(\operatorname{Spin}^\mathrm{c}(4))
\in H^1(S^1,\mathbb{Z}_2)
\cong\mathbb{Z}_2
，它是从前面的撤退中获得的（但由于缺乏分类空间，不要与行列式束混淆）。这也适用于所有其他单一群。 替代描述现在产生六个维度：

：
\operatorname{Spin}^\mathrm{c}(6)
\cong\{(U,z)\in \operatorname{U}(4)\times\operatorname{U}(1)|\det(U)=z^2\}


这里通过后面复数的模糊符号清楚地显示了双重叠加。

==另见==

* 七维Seiberg-Witten理论
* 八维Seiberg-Witten理论
* 伪黎曼 Seiberg-Witten 理论
* 四元Seiberg-Witten理论

* nlab:D=6+Seiberg-Witten+理论|D=6 Seiberg-Witten 理论 on 𝑛Lab|''n''Lab (English language|english)

类别：微分几何