三角台球 ⇐ 文章草稿

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在数学中，“三角形台球”是一个动力学系统，它模拟具有镜面的三角形或三角形桌子上的台球内光线的反射（物理）|反射。这是动态台球的一个特例。该领域的一个主要开放问题涉及周期性点|周期性台球路径的存在：每个三角形是否都有一条在有限次数的反射后重复其起始位置和方向的路径？
==问题陈述==
在此模型中，具有给定初始位置和方向的光线遵循多边形链形式的路径，遵循以下规则：每当光线从三角形的一侧反射时，入射角（光学）|入射角等于反射角。如果光线到达三角形的顶点（几何）|顶点，它就会熄灭。或者，被建模为数学点的台球在三角形台球桌上遵循相同的路径，当它撞到桌子的墙壁或落入角落的口袋时，再次完美地反射。这是动态台球的一个特例，它会在比三角形更一般的形状中提出类似的问题。
==已解决案例==
在锐角三角形中，正三角形形成周期性的台球路径，在返回到起始位置之前反射三次。该三角形以给定锐角三角形边上的三个点作为其三个顶点，这三个点与穿过相对顶点的垂直线相交。它还给出了 Fagnano 最小周长内接三角形问题的解决方案）
在直角三角形中，垂直于三角形斜边的任何反射路径都是周期性的，从每条边反射两次，并在返回到其起始位置之前沿相反方向遵循相同的路径。因此，这些三角形总是具有周期性的台球路径。
对于角度为 \pi 有理数倍的三角形，总是存在周期性台球路径，并且更强烈的是，产生周期性路径的起始位置和方向形成一个密集集。
计算机搜索表明，所有最小角至少为11°的钝角三角形，以及所有最大角至多112.4°的钝角三角形，都具有周期性的台球路径。











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