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在初等代数中，“AC 方法”（也称为“ac 分组方法”或简称“分组因式分解”）是一种对二次函数|二次三项式进行因式分解的技术
其中首项系数 a 不等于 1。
==历史==
AC 方法的确切起源尚不清楚，但至少从 20 世纪末开始，它就一直是美国代数教科书中的标准固定方法。该方法与早在 19 世纪就出现在初等代数课本中的分组因式分解技术密切相关。

“AC 方法”这个名称源自该过程的第一步：计算乘积 ac（首项系数与常数项的乘积）。 一些教科书将其称为“ac-分组方法”，因为它将乘法步骤与分组技术相结合。

该方法在 20 世纪 90 年代和 2000 年代广泛应用于高中和大学代数课程，作为试错因式分解的系统替代方案。

== 描述 ==
AC 方法是一种系统程序，用于将 ax^2 + bx + c（a ≠ 0）形式的二次三项式转换为可通过分组进行因式分解的四项多项式。

该算法由以下步骤组成：
* 计算乘积 ac，即将首项系数 a 乘以常数项 c。
* 找到两个整数 p 和 q，使得 p + q = b。 如果不存在这样的整数，则三项式不会因式分解这些整数。
* 使用 p 和 q 将中间项 bx 重写为两项之和：bx = px + qx。原始三项式变成四项多项式：ax^2 + px + qx + c。

按分组因数：
# 将前两项和后两项分组：(ax^2 + px) + (qx + c);
# 从每组中分解出最大公因子（GCF）；
# 如果两个组包含一个公共二项式因子，则将其分解以获得两个二项式的乘积。

使用 FOIL 方法通过二项式相乘来验证因式分解；结果应等于原始三项式。

下面的例子演示了AC方法。

示例。因数 2x^2 - 11x + 5
# 确定系数：a = 2, b = -11, c = 5;
# 计算 ac = 2 \times 5 = 10
# 找出两个乘积为 10、和为 -11 的数字。数字 -10 和 -1 满足 (-10) \times (-1) = 10 和 (-10) + (-1) = -11
# 重写中间项：2x^2 - 10x - 1x + 5
# 组：(2x^2 - 10x) + (-1x + 5)
# 对每组进行因式分解：2x(x - 5) -1(x - 5)
# 分解出常见二项式 (x - 5)：(x - 5)(2x - 1)
# 通过乘法检查：(x - 5)(2x - 1) = 2x^2 - x - 10x + 5 = 2x^2 - 11x + 5，与原来的三项式相符。

因此，2x^2 - 11x + 5 = (x - 5)(2x - 1)。

== 示例 ==
下面举例说明AC方法在不同情况下的应用。

=== 因式分解带有负 ac 的三项式 ===
因数 2x^2 + 5x - 12。
# 确定系数：a = 2, b = 5, c = -12
# 计算 ac = 2 \times (-12) = -24
# 找出两个乘积为-24且和为5的数字。 数字 8 和 -3 满足 8 \times (-3) = -24 和 8 + (-3) = 5
# 重写中间项：2x^2 + 8x - 3x - 12
# 组：(2x^2 + 8x) + (-3x - 12)
# 对每组进行因式分解：2x(x + 4) -3(x + 4)
# 分解出常见二项式 (x + 4)：(x + 4)(2x - 3)

因此，2x^2 + 5x - 12 = (x + 4)(2x - 3)。

=== 用公因式分解三项式 ===
因数 4x^2 - 2x - 6
# 首先，分解所有项的最大公因数（GCF），即 2：4x^2 - 2x - 6 = 2(2x^2 - x - 3)
# 现在使用 AC 方法对内三项式 2x^2 - x - 3 进行因式分解
# 对于 2x^2 - x - 3：a = 2, b = -1, c = -3
# 计算 ac = 2 \times (-3) = -6
# 找出两个乘积为-6且和为-1的数字。数字 -3 和 2 满足 (-3) \times 2 = -6 和 (-3) + 2 = -1
# 重写中间项：2x^2 - 3x + 2x - 3
# 组：(2x^2 - 3x) + (2x - 3)
# 对每组进行因式分解：x(2x - 3) + 1(2x - 3)
# 分解出常见二项式 (2x - 3)：(2x - 3)(x + 1)
# 包括最初分解出的 GCF：2(2x - 3)(x + 1)

因此，4x^2 - 2x - 6 = 2(2x - 3)(x + 1)。

=== 不因式分解整数的三项式 ===
因数 x^2 + x + 1。
# 识别系数：a = 1, b = 1, c = 1
# 计算 ac = 1 \times 1 = 1
# 找到两个乘积为 1、和为 1 的整数。乘积为 1 的整数对只有 (1, 1) 和 (-1, -1)。它们的和分别为 2 和 -2，都不等于 1。
# 由于不存在这样的整数，因此三项式 x^2 + x + 1 不会对整数进行因式分解。

== 为什么它有效 ==
AC 方法可以通过检查对整数进行因式分解的二次三项式的结构来证明。假设三项式 ax^2 + bx + c（a ≠ 0）因子为
其中 r、s、t、u 是整数，且 r ≠ 0、t ≠ 0。展开右侧可得

根据这些关系，乘积 ac 可以表示为

因此两个数字 ru 和 st 具有以下属性：
* 他们的乘积是 ru \cdot st = (rt)(su) = ac;
* 它们的总和是ru + st = b。
这些正是 AC 方法中寻求的两个数字 p 和 q：p = ru 和 q = st。

一旦找到p和q，原来的三项式就可以重写为

代入 a = rt、p = ru、q = st 和 c = su 得到

将前两项和后两项分组给出
这正是原始分解。

如果没有整数 p 和 q 满足 pq = ac 和 p + q = b，则三项式无法对整数进行因式分解，因为无法拆分中间项以允许分组为整数因式。

==与其他方法的比较==
存在多种用于因式分解二次三项式的技术。 AC 方法是一种系统方法；通过与其他方法进行比较，可以了解其优点和缺点。
* 试错（或猜测和检查）是最基本的方法。学生尝试通过测试满足 rt = a 和 su = c 的整数 r、t、s、u 的组合来找到二项式因子 (rx + s)(tx + u)，然后检查所得的中间系数 ru + st 是否等于 b。 这种方法依赖于直觉，当 a 和 c 有许多因子对时，该方法会变得乏味。 AC 方法通过系统搜索两个乘积为 ac、总和为 b 的数字来代替猜测，这对于那些反复试验的学生来说更加可靠。
* 二次公式提供了一种通用的方法来将任何二次多项式分解为实数或复数。如果方程 ax^2 + bx + c = 0 的根为 r_1 和 r_2（通过 r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac{2a} 找到），则多项式因子为 a(x - r_1)(x - r_2)。即使根是无理数或复杂时，这种方法也总是有效，但它需要计算判别式并处理根式。 对于整数分解，二次公式的计算量通常比所需的量大。
* AC 方法是分组因式分解的特殊应用。分组本身是一种更通用的技术，适用于任何次数的多项式，但对于二次三项式，AC 方法提供了分割中间项的具体规则。 分割中间项后，剩余的分组步骤与用于更高次数多项式的步骤相同。

== 限制 ==
AC 方法有几个限制：
* 它专为 ax^2 + bx + c 形式的二次三项式而设计。高次多项式不能直接用此方法进行因式分解，除非可以通过替换将其简化为二次多项式。
* 该方法假设系数 a、b、c 是整数（或者可以通过分解公分母而成为整数）。如果它们是无理数，则寻找整数p和q是没有意义的。
* 仅当三项式因子大于整数时才有效。如果判别式 b^2 - 4ac 不是完全平方，则不存在具有所需属性的整数 p、q，并且该方法正确指示多项式在 Z[x] 上是素数。
* 对于较大的 ac 值，因子对的枚举仍然很耗时，尽管它比随机猜测更系统。在这种情况下，二次公式或计算机代数系统可能会更有效。

==注释==

初等代数