复向上同调理论 ⇐ 文章草稿

[Anonymous]

“复向上同调理论”是代数拓扑|代数拓扑的数学|数学分支中的一种特殊的广义上同调理论，用谱（拓扑）|谱来表示。简单来说，这个方向（数学）是面向所有复数复向量丛。复向上同调理论由“Conner-Floyd-Chern 类”（或“广义 Chern 类”）描述。特别是，第一个 Conner-Floyd-Chern 类的选择也称为复杂取向。普通陈氏类是奇异上同调类，并根据布朗表示定理由 Eilenberg-MacLane 谱描述。然而，它们的构造也可以考虑用于由一般谱表示的任何广义上同调理论。其中包括复 K 理论 \operatorname{KU} 或酉 Thom 谱|酉 Thom 谱 \operatorname{MU}。康纳·弗洛伊德·陈 (Conner Floyd Chern) 课程以皮埃尔·康纳 (Pierre Conner)、埃德温·弗洛伊德 (Edwin Floyd) 和陈省身 (Shiing-Shen Chern) 命名|Shing-Shen Chern。

== 定义 ==

令 j\colon S^2\cong\mathbb{C}P^1\hookrightarrow\mathbb{C}P^\infty\cong\operatorname{BU}(1) 与黎曼数球|黎曼数球和 U(n) 的分类空间|U(1) 的分类空间作为规范包含。这对复数 Hopf 纤维 h_\mathbb{C}\colon S^3\rightarrow S^2 （即 S^3\cong j^*\operatorname{EU}(1)\cong j^*S^\infty 与无限维球体|无限维球体 S^\infty 进行分类，其中U(1) 主纤维束。它的第一个 Chern 类 c_1(S^3)\in H^2(S^2,\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z} 是一个生成器。

设E为环谱，则有相应的广义约简上同调理论\widetilde{E}^*（由\widetilde{E}^k(X)
给出） :=\operatorname{colim}_{n\to\infty}\left[\Sigma^nX,E_{n+k}\right] 对于所有拓扑空间 XAdams 74，第 2 章：谱）和诱导群同态：

：
\widetilde{j}^*\冒号
\widetilde{E}^2(\operatorname{BU}(1))\rightarrow\widetilde{E}^2(S^2)
\cong\widetilde{E}^0(S^0)
\cong\pi_0^\mathrm{stab}(E)


由于E是环谱，因此稳定同伦群是
\pi_0^\mathrm{stab}(E)
交换酉环，即只有一个元素
1\in\pi_0^\mathrm{stab}(E)
。核（代数）|核（如果有）的元素 C_1^E\in\ker\left(\widetilde{j}^*\right):=(\widetilde{j}^*)^{-1}(1)\subset\widetilde{E}^2(\operatorname{BU}(1)) 现在是第一个 Conner-Floyd-Chern 类、广义的第一个 Chern 类或复数Lurie 10，讲座 5，命题 6 证明 现在对于每个 \operatorname{U}(1) - 主纤维束 f\colon
X\rightarrow\operatorname{BU}(1)
拓扑空间 X 上的 \cong\mathbb{C}P^\infty 指定为：

：
c_1^E(f^*\operatorname{EU}(1))
=f^*C_1^E
\in\widetilde{E}^2(X)。

由于规范的弱同伦等价|弱同伦等价
\beta\冒号
\操作符名称{BU}(1)\xrightarrow\simeq\操作符名称{MU}_2
每个复数方向也有一个规范的 Thom 类 \widetilde{C}_1^E
\in\widetilde{E}^2(\operatorname{MU}_2)。

==分类==
对于具有球面谱 \mathbb{S}=\Sigma^\infty S^0Adams 74，示例 2.3 的环谱的单位 u\colon\mathbb{S}\rightarrow E，复方向也可以是谱同态 C_1^E\colon
\Sigma^\infty\operatorname{BU}(1)\rightarrow\Sigma^2E，沿 \Sigma^\infty j 延伸 \Sigma^2u，从而得到 \Sigma^2u=C_1^E\circ\Sigma^\infty j\colon\Sigma^2\mathbb{S}\rightarrow\Sigma^2E。 借助附加项（范畴论）|附加项\Sigma^\infty\dashv\Omega^\infty，复方向也可以表示为连续映射C_1^E\colon
\mathbb{R}P^\infty\cong\operatorname{BU}(1)\rightarrow\Omega^{\infty-2}E。

对于复杂方向的描述，酉汤姆谱也可以通过以下方式使用 \operatorname{MU}\rightarrow E：Lurie 10，讲座 6，定理 8

：
\operatorname{Hom}(\operatorname{MU},E)\xrightarrow\cong\ker\left(
\widetilde{j}^*
\right)\subset\widetilde{E}^2(\operatorname{BU}(1)),
g\mapsto
\左[
\操作符名称{BU}(1)\xrightarrow\simeq\操作符名称{MU}_2\xrightarrow{g_2}E_2
\右]。


特别是，复汤姆谱本身具有相同的映射|恒等式\operatorname{id}\colon
\operatorname{MU}\rightarrow\operatorname{MU} 典型的复杂导向。

== 示例 ==
* Eilenberg-MacLane 谱 E=H\mathbb{Z} 与 H^2(\operatorname{BU}(1),\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z} 和 \pi_0^\mathrm{stab}(H\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z} 有一个第一个Conner Floyd Chern 级，这正是普通的第一级 Chern 级。Adams 74，示例 (2.2)
* 酉汤姆谱 E=\operatorname{MU} 与规范弱同伦等价
具有弱同伦等价 \beta\冒号
\操作符名称{BU}(1)\xrightarrow\simeq\操作符名称{MU}_2
一个规范元素 C_1^\operatorname{MU}\in\widetilde{\operatorname{MU^2(\operatorname{BU}(1))。Lurie 10，讲座 6，备注 7 由于 j\colon S^2\rightarrow\operatorname{BU}(1) 的生成器\pi_2\运算符名称{BU}(1)
\cong\pi_1\operatorname{U}(1)
\cong\mathbb{Z} 是 \beta\circ j\colon
S^4\rightarrow\operatorname{MSp}_4 也是 \pi_2\operatorname{MU}_2
\cong\mathbb{Z} 从而表示生成器 j^*C_1^E
=[\beta\circ j]\in\widetilde{\operatorname{MU^2(S^2)
\cong\pi_0^\mathrm{stab}\operatorname{MU}
\cong\mathbb{Z}。因此，这个元素实际上是一个复杂的取向。对于同义反复线束的第一个 Conner-Floyd-Chern 类 \gamma_{\mathbb{C^{1,n}\twoheadrightarrow\mathbb{C}P^n 然后适用：
*：
c_1^\operatorname{MU}(\gamma_{\mathbb{C^{1,n})
=\left[\mathbb{C}P^n\hookrightarrow\mathbb{C}P^\infty\cong\operatorname{BU}(1)\xrightarrow\beta\operatorname{MU}_2\right]
\in\widetilde\operatorname{MU}^2(\mathbb{C}P^n).

* 酉 K 理论 E=\operatorname{KU} 有一个生成器 [\gamma_{\mathbb{C^{1,1}-\underline{\mathbb{C]\in\operatorname{KU}(S^2)
\cong\mathbb{Z} 与同义反复线束 \gamma_{\mathbb{C^{1,1}\twoheadrightarrow\mathbb{C}P^1\cong S^2。 由于 \gamma_{\mathbb{C^{1,1}=j^*\gamma_{\mathbb{C^1} 具有通用向量丛 \gamma_{\mathbb{C^1\twoheadrightarrow\mathbb{C}P^\infty\cong\operatorname{BU}(1))，复杂方向的明显选择很简单C_1^\操作符名称{KU}
=[\gamma_{\mathbb{C^1-\underline{\mathbb{C]\in\operatorname{KU}(\operatorname{BU}(1)).Adams 74，示例 (2.3) 对于同义反复线束的广义第一 Chern 类 \gamma_{\mathbb {C^{1,n}\twoheadrightarrow\mathbb {C}P^n 然后适用：
*：
c_1^\operatorname{KU}(\gamma_{\mathbb{C^{1,n})
=[\gamma_{\mathbb{C^{1,n}-\underline{\mathbb{C]
\in\operatorname{KU}(\mathbb{C}P^n).


==另见==
* 四元数导向的上同调理论

==文献==

* * * * *
* nlab:complex+orientation+cohomology+theory|复数定向上同调理论, nlab:universal+complex+orientation+on+MU|NLab 上 MU 上的通用复数方向|''n''Lab (英文)



类别：代数拓扑