四元数导向的上同调理论 ⇐ 文章草稿

[Anonymous]

“四元数定向上同调理论”是代数拓扑|代数拓扑数学领域中一种特殊的广义上同调理论，用谱（拓扑）表示。简单来说，这个取向（数学）|取向于所有四元数|四元数向量丛|向量丛。四元数导向的上同调理论由“广义庞特雅金类”描述。特别是，第一个广义 Pontryagin 类的选择也称为四元数方向。普通庞特里亚金类是奇异上同调类，并根据布朗表示定理由 Eilenberg-MacLane 谱描述。然而，它们的构造也可以考虑用于由一般谱表示的任何广义上同调理论。其中包括辛 K 理论 \operatorname{KSp} 或辛 Thom 谱|辛 Thom 谱 \operatorname{MSp}。广义 Pontrjagin 类以 Lev Semyonovich Pontrjagin|Lew Pontrjagin 命名。

== 定义 ==

令 k\colon S^4\cong\mathbb{H}P^1\hookrightarrow\mathbb{H}P^\infty\cong\operatorname{BSp}(1) 与 SU(n) 的分类空间|Sp(1) 的分类空间为规范包含。这对四元数 Hopf 纤维 h_\mathbb{H}\colon S^7\rightarrow S^4 （即 S^7\cong k^*\operatorname{ESp}(1)\cong k^*S^\infty 与无限维球体|无限维球体 S^\infty 进行分类，其中是 Sp(1) 主纤维束。它的第一个 Pontrjagin 类 p_1(S^7)\in H^4(S^4,\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z} 是一个生成器。

设E为环谱，则有相应的广义约简上同调理论\widetilde{E}^*（由\widetilde{E}^k(X)
给出） :=\operatorname{colim}_{n\to\infty}\left[\Sigma^nX,E_{n+k}\right] 对于所有拓扑空间 XAdams 74，第 2 章：谱）和诱导群同态：

：
\widetilde{k}^*\冒号
\widetilde{E}^4(\operatorname{BSp}(1))\rightarrow\widetilde{E}^4(S^4)
\cong\widetilde{E}^0(S^0)
\cong\pi_0^\mathrm{stab}(E)


由于E是环谱，因此稳定同伦群是
\pi_0^\mathrm{stab}(E)
交换酉环，即只有一个元素
1\in\pi_0^\mathrm{stab}(E)
。核（代数）|kernel 的元素 P_1^E\in\ker\left(\widetilde{k}^*\right):=(\widetilde{k}^*)^{-1}(1)\subset\widetilde{E}^4(\operatorname{BSp}(1))（如果有）现在是广义的第一 Pontryagin 类或四元数方向。现在对于每个 \operatorname{Sp}(1) 主纤维束 f\colon
X\rightarrow\operatorname{BSp}(1)
拓扑空间 X 上的 \cong\mathbb{H}P^\infty 指定为：

：
p_1^E(f^*\operatorname{ESp}(1))
=f^*P_1^E
\in\widetilde{E}^4(X)。

由于规范的弱同伦等价|弱同伦等价
\伽玛\冒号
\operatorname{BSp}(1)\xrightarrow\simeq\operatorname{MSp}_4
每个四元数方向也有一个规范的 Thom 类 \widetilde{P}_1^E
\in\widetilde{E}^4(\operatorname{MSp}_4)。

==分类==
对于具有球面光谱 \mathbb{S}=\Sigma^\infty S^0Adams 74，示例 2.3 的环光谱的单位 u\colon\mathbb{S}\rightarrow E，四元数取向也可以是光谱同态 P_1^E\colon
\Sigma^\infty\operatorname{BSp}(1)\rightarrow\Sigma^4E，沿 \Sigma^\infty k 延伸 \Sigma^4u，因此 \Sigma^4u=P_1^E\circ\Sigma^\infty k\冒号\Sigma^4\mathbb{S}\rightarrow\Sigma^4E。 借助附属物（范畴论）|附属物\Sigma^\infty\dashv\Omega^\infty，四元数取向也可以表示为连续映射P_1^E\colon
\mathbb{H}P^\infty\cong\operatorname{BSp}(1)\rightarrow\Omega^{\infty-4}E。

对于四元取向的描述，辛托姆谱也可以使用谱同态\operatorname{MSp}\rightarrow E：

：
\operatorname{Hom}(\operatorname{MSp},E)\xrightarrow\cong\ker\left(
\widetilde{k}^*
\right)\subset\widetilde{E}^4(\operatorname{BSp}(1)),
f\mapsto
\左[
\operatorname{BSp}(1)\xrightarrow\gamma\operatorname{MSp}_4\xrightarrow{f_4}E_4
\右]。

特别是，辛托姆谱本身具有相同的映射|恒等式 \operatorname{id}\colon
\operatorname{MSp}\rightarrow\operatorname{MSp} 规范四元数导向。

== 示例 ==

* Eilenberg-MacLane 谱 E=H\mathbb{Z} 与 H^4(\operatorname{BSp}(1),\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z} 和 \pi_0^\mathrm{stab}(H\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z} 有一个单一的广义第一 Pontryagin 类，这正是普通第一 Pontryagin 类。
* 辛托姆谱 E=\operatorname{MSp} 与规范弱同伦等价
具有弱同伦等价 \伽玛\冒号
\operatorname{BSp}(1)\xrightarrow\simeq\operatorname{MSp}_4
规范元素 P_1^\operatorname{MSp}\in\widetilde{\operatorname{MSp^4(\operatorname{BSp}(1))。由于 k\colon S^4\rightarrow\operatorname{BSp}(1) 是 \pi_4\operatorname{BSp}(1)
\cong\pi_3\operatorname{Sp}(1)
\cong\mathbb{Z} 是 \gamma\circ k\colon
S^4\rightarrow\operatorname{MSp}_4 也是 \pi_4\operatorname{MSp}_4
\cong\mathbb{Z} 从而表示生成器 k^*P_1^E
=[\gamma\circ k]\in\widetilde{\operatorname{MSp^4(S^4)
\cong\pi_0^\mathrm{stab}\operatorname{MSp}
\cong\mathbb{Z}。因此，这个元素实际上是一个四元数取向。对于同义反复线束的广义第一 Pontryagin 类\gamma_{\mathbb{H^{1,n}\twoheadrightarrow\mathbb{H}P^n 则适用：
*：
c_1^\operatorname{MSp}(\gamma_{\mathbb{H^{1,n})
=\left[\mathbb{H}P^n\hookrightarrow\mathbb{H}P^\infty\cong\操作符名称{BSp}(1)\xrightarrow\gamma\操作符名称{MSp}_4\right]
\in\widetilde\operatorname{MSp}^4(\mathbb{H}P^n)。

* 辛 K 理论 E=\operatorname{KSp} 有一个生成元 [\gamma_{\mathbb{H^{1,1}-\underline{\mathbb{H]\in\operatorname{KSp}(S^4)
\cong\mathbb{Z} 与同义反复线束 \gamma_{\mathbb{H^{1,1}\twoheadrightarrow\mathbb{H}P^1\cong S^4。因为 \gamma_{\mathbb{H^{1,1}=k^*\gamma_{\mathbb{H^1) 具有通用向量丛 \gamma_{\mathbb{H^1\twoheadrightarrow\mathbb{H}P^\infty\cong\operatorname{BSp}(1)，四元数方向的明显选择很简单P_1^\operatorname{KSp}
=[\gamma_{\mathbb{H^1-\underline{\mathbb{H]\in\operatorname{KSp}(\operatorname{BSp}(1))。对于同义反复线丛的广义第一 Pontryagin 类 \gamma_{\mathbb{H^{1,n}\twoheadrightarrow\mathbb{H}P^n 则适用：
*：
p_1^\operatorname{KSp}(\gamma_{\mathbb{H^{1,n})
=[\gamma_{\mathbb{H^{1,n}-\underline{\mathbb{H]
\in\operatorname{KSp}(\mathbb{H}P^n).

==另见==
* 复向上同调理论

==文献==

* *
* nlab:四元数+定向+上同调+理论|NLab上的四元数定向上同调理论|''n''Lab（英文）



类别：代数拓扑